Question

某工廠用如圖所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板做橫式、豎式兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋包裝紙盒．若有長(zhǎng)方形紙板171張，正方形紙板82張，要做橫式、豎式紙盒共50個(gè)
（1）若按紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分，有哪些生產(chǎn)方案？
（2）已知橫式紙盒的利潤(rùn)為每個(gè)8元，豎式紙盒的利潤(rùn)為每個(gè)10元，若僅從銷售的利潤(rùn)考慮，以上哪種方案的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析：（1）設(shè)生產(chǎn)橫式的無(wú)蓋長(zhǎng)方體包裝盒x個(gè)，則生產(chǎn)豎式的無(wú)蓋長(zhǎng)方體包裝盒（50-x）個(gè)，根據(jù)題意可得兩個(gè)關(guān)系式為：A種紙盒使用長(zhǎng)方形紙板的個(gè)數(shù)+B種紙盒使用長(zhǎng)方形紙板的個(gè)數(shù)≤長(zhǎng)方形紙板的張數(shù)，A種紙盒使用正方形紙板的個(gè)數(shù)+B種紙盒使用正方形紙板的個(gè)數(shù)≤正方形紙板的張數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入求正整數(shù)解即可；
（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為W元，生產(chǎn)橫式紙盒x個(gè)，根據(jù)題意可得：總利潤(rùn)=橫式紙盒的利潤(rùn)×橫式紙盒的個(gè)數(shù)+豎式紙盒的利潤(rùn)×豎式紙盒的個(gè)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定x的值，即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)橫式的無(wú)蓋長(zhǎng)方體包裝盒x個(gè)，則生產(chǎn)豎式的無(wú)蓋長(zhǎng)方體包裝盒（50-x）個(gè)．
由題意得，

3x+4(50-x)≤171 2x+50-x≤82.

（3分）
解得，29≤x≤32．
∵x是整數(shù)，
∴x₁=29，x₂=30，x₃=31，x₄=32．（4分）
答：有4種生產(chǎn)方案，分別是：
生產(chǎn)橫式包裝盒29個(gè)，豎式包裝盒21個(gè)；
生產(chǎn)橫式包裝盒30個(gè)，豎式包裝盒20個(gè)；
生產(chǎn)橫式包裝盒31個(gè)，豎式包裝盒19個(gè)；
生產(chǎn)橫式包裝盒32個(gè)，豎式包裝盒18個(gè)．（5分）

（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為W元，生產(chǎn)橫式紙盒x個(gè)，
則w=8x+10（50-x）=-2x+500（7分）
∵-2＜0，W隨x 的增大而減小，
∴當(dāng)x=29時(shí)，W最大，最大值為442元；
答：生產(chǎn)橫式紙盒29個(gè)，豎式紙盒21個(gè)，最大利潤(rùn)為442元．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)，讀懂題意，根據(jù)豎式及橫式數(shù)量的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組求解是解題關(guān)鍵．