Question

【題目】閱讀理解：數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合，樹形轉化的方法解決一些數學問題，小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通過構造直角三角形利用圖1得到結論：P1P2=，他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P（x，y），P的坐標公式：x=，y=．

啟發應用：

如圖3：在平面直角坐標系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M經過原點O及點A，B，

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；

（2）判斷點C與⊙M的位置關系，并說明理由；

（3）若∠BOA的平分線交AB于點N，交⊙M于點E，分別求出OE的表達式y1，過點M的反比例函數的表達式y2，并根據圖象，當y2＞y1＞0時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）⊙M的半徑為5，M（4，3）；（2）點C在⊙M上，理由見解析；（3）y2= ，，y2＞y1＞0時，0＜x＜2

【解析】試題分析：（1）先確定出AB=10，進而求出圓M的半徑，最后用線段的中點坐標公式即可得出結論；
（2）求出CM=5和圓M的半徑比較大小，即可得出結論；
（3）先確定出直線和雙曲線解析式，即可求出兩圖象的交點坐標，即可得出結論．

試題解析：

（1）∵∠AOB=90°，

∴AB是⊙M的直徑，

∵A（8，0），B（0，6），

∴AB==10，

∴⊙M的半徑為5，

由線段中點坐標公式x=，y=，得x=4，y=3，

∴M（4，3），

（2）點C在⊙M上，

理由：∵C（1，7），M（4，3），

∴CM==5，

∴點C在⊙M上；

（3）由題意知，y1=x，

設反比例函數的解析式為y2=（k≠0），

∵M（4，3）在反比例函數圖象上，

∴k=3×4=12，

∴反比例函數的解析式為y2= ，

當y1=y2時，x=，

∴x=±2，

∴由圖象知，當y2＞y1＞0時，0＜x＜2 ．