Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：BM=CM；

（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；

（3）當AD：AB的值為多少時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形MENF是菱形（3）2：1

【解析】試題分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根據全等三角形的判定定理推出即可；

（2）根據三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據菱形的判定推出即可；

（3）求出∠EMF=90°，根據正方形的判定推出即可．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴A=∠D=90°，AB=DC，

∴M是AD的中點，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中， ，

∴△ABM≌△DCM（SAS），

（2）四邊形MENF是菱形；理由如下：

∴E、N、F分別是線段BM、BC、CM的中點，

∴EN是△BCM的中位線，

∴EN=CM=FM，EN∥FM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

同理：NF是△BCM的中位線，

∴NF=BM，

∴BM=CM，

∴EN=NF，

∴四邊形MENF是菱形；

（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形；理由如下：

∴AD：AB=2：1，M是AD的中點，

∴AB=AM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴∠AMB=45°，

同理：DMC=45°，∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，

由（2）得：四邊形MENF是菱形，

∴四邊形MENF是正方形；

故答案為：2：1．