Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A點的坐標為(3，0)，以OA為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C．動點P從O點出發沿OC向C點運動，動點Q從B點出發沿BA向A點運動，P，Q兩點同時出發，速度均為1個單位／秒。設運動時間為t秒．

（1）求線段BC的長；
（2）連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設線段EF的長為m，求m與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：
（3）在（2）的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉得到△BE′F′，使點E的對應點E′落在線段AB上，點F的對應點是F′，E′F′交x軸于點G，連接PF、QG，當t為何值時，?

Answer 1

（1）
（2） (0<t<3)
（3）當t="1" 時，

解：（1）∵△AOB為等邊三角形，∴∠BAC=∠AOB=60⁰。
∵BC⊥AB ，∴∠ABC=90⁰。∴∠ACB=30⁰，∠OBC=30⁰。∴∠ACB=∠OBC。
∴CO=OB=AB=OA=3。∴AC=6。
∴BC=AC=。
（2）如圖，過點Q作QN∥OB交x軸于點N，

∴∠QNA=∠BOA=60⁰=∠QAN。
∴△AQN為等邊三角形。
∵BQ=t，∴NQ=NA=AQ=3－t。
∴。∴。
∵OE∥QN，∴△POE∽△PNQ。
∴，即。∴。
∵EF∥x軸，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30⁰。∴EF=BE。
∴ (0<t<3)。
（3）如圖，

∵，
∴∠AEG=60⁰=∠EAG。
∴GE′=GA ∴△AE′G為等邊三角形。
∵。
∴。
∴∠l=∠2 ，∠3=∠4。
∵∠l+∠2+∠3+∠4=180⁰，∴∠2+∠3=90⁰，即∠QGA=90⁰。∴。
∵EF∥OC，∴，即。∴。
∵，∴。
又∵∠FCP=∠BCA，∴△FCP∽△BCA。
∴。解得。
∵，∴，解得t=1。
∴當t="1" 時，。
（1）由△AOB為等邊三角形得∠ACB=∠OBC=30⁰，由此CO=OB=AB=OA=3，在Rt△ABC中，AC為6 ，從而BC=。
（2）過點Q作QN∥OB交x軸于點N，先證△AQN為等邊三角形，從而 ，
，再由△POE∽△PNQ對應邊成比例計算得再由EF=BE易得出m與t之間的函數關系式。
（3）先證△AE′G為等邊三角形，再證∠QGA=90⁰，通過兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過解方程求出。