Question

已知二次函數的圖象過點（0，3），圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸，圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）寫出y＞0時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸得到拋物線的對稱軸為直線x=-3，由圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點，于是可設頂點式y=a（x+3）²-2，然后把（0，3）代入計算出a即可；
（2）先令y=0，求出拋物線與x軸的交點坐標，然后寫出拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍即可．

解答：解：（1）∵圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-3，
∵圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點，
∴頂點的縱坐標為-2，
∴拋物線的頂點坐標為（-3，-2），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）²-2，
把（0，3）代入得9a-2=3，解得a=

5

9

，
所以拋物線的解析式為y=

5

9

（x+3）²-2，

（2）當y=0時，

5

9

（x+3）²-2=0，
解得x₁=-3+

3 10

5

，x₁=-3-

3 10

5

，
∴當x＞-3+

3 10

5

或x＜-3-

3 10

5

時，y＞0．

點評：本題考查了二次函數的圖象與幾何變換：先把二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）配成頂點式y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，對稱軸為直線x=-

b

2a

，頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），然后把拋物線的平移問題轉化為頂點的平移問題．也考查了二次函數的三種形式．