Question

【題目】已知正方形中與交于點，點在線段上，作直線交直線于,過作于,設直線交于.

（1）如圖，當在線段上時，求證：；

（2）如圖2，當在線段上，連接,當時，求證：；

（3）在圖3，當在線段上，連接,當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）先判斷出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判斷出∠ODN=∠OAM，判斷出△DON≌△AOM即可得出結論；

（2）先判斷出四邊形DENM是菱形，進而判斷出∠BDN=22.5°，即可判斷出∠AMB=67.5°，即可得出結論；

（3）設CE=a，進而表示出EN=CE=a，CN=a，設DE=b，進而表示AD=a+b，根據勾股定理得，AC=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，進而判斷出△DEN∽△ADE，得出，進而得出a=b，即可表示出CN=b，AC=b，AN=AC﹣CN=b，即可得出結論．

（1）∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，

∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，

∴∠OND+∠ODN=90°，

∵∠ANH=∠OND，

∴∠ANH+∠ODN=90°，

∵DH⊥AE，

∴∠DHM=90°，

∴∠ANH+∠OAM=90°，

∴∠ODN=∠OAM，

∴△DON≌△AOM，

∴OM=ON；

（2）連接MN，

∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，

∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，

∵OD=OD，

∴DM=CN=EN，

∵EN∥DM，

∴四邊形DENM是平行四邊形，

∵DN⊥AE，

∴DENM是菱形，

∴DE=EN，

∴∠EDN=∠END，

∵EN∥BD，

∴∠END=∠BDN，

∴∠EDN=∠BDN，

∵∠BDC=45°，

∴∠BDN=22.5°，

∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，

∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB，

∴BM=AB；

（3）設CE=a（a＞0）

∵EN⊥CD，

∴∠CEN=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠CNE=45°=∠ACD，

∴EN=CE=a，

∴CN=a，

設DE=b（b＞0），

∴AD=CD=DE+CE=a+b，

根據勾股定理得，AC=AD=（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，

∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，

∴△DEN∽△ADE，

∴，

∴，

∴a=b（已舍去不符合題意的）

∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，

∴AN=AC﹣CN=b，

∴AN2=2b2，ACCN=bb=2b2

∴AN2=ACCN．