Question

【題目】如圖，一次函數y=- x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB的中點為D（3，2）．將△AOB沿直線CD折疊，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C．

（1）求此一次函數的解析式；
（2）求點C的坐標；
（3）在坐標平面內存在點P（除點C外），使得以A、D、P為頂點的三角形與△ACD全等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A點坐標為（a，0），B點坐標為（0，b），

由線段AB的中點為D（3，2），得

=3， =2，

解得a=6，b=4．

即A（6，0），B（0，4）

故一次函數解析式為y=- x+4

（2）解：如圖1：

連接BC，設OC=x，則AC=CB=6-x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

42+x2=（6-x）2，

解得x= ，

即C（ ，0）

（3）解：①當△ACD≌△APD時，設P1（c，d），

由D是PC的中點，得

， =2，

解得c= ，d=4，

即P1（ ，4）；

如圖2：

，

②當△ACD≌△DP2A時，

做DE⊥AC與E，P2F⊥AC與F點，DE=2，CE= ，

由△CDE≌△AP2F，

AF=CE= ，P2F=DE=2，

OF=6- = ，

∴P2（ ，-2）；

③當△ACD≌△DP3A時，設P3（e，f）

A是線段P2P3的中點，得

， ，

解得e= ，f=2，

即P3（ ，2），

綜上所述：P1（ ，4）；P2（ ，-2）；P3（ ，2）

【解析】（1）把點D的坐標代入一次函數的解析式求出A，B的坐標和b的值，得到一次函數的解析式；（2）根據勾股定理求出點C的坐標；（3）根據題意和全等三角形的判定方法，求出各個點的坐標，得到點P的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.