Question

（1998•山東）已知關于x的一元二次方程5x2-2

6

px+5q=0(p≠0)有兩個相等的實數根．
求證：（1）方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；
（2）設方程x²+px+q=0的兩個實數根是x₁，x₂，若|x₁|＜|x₂|，則

x1

x2

=

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由于一元二次方程5x2-2

6

px+5q=0(p≠0)有兩個相等的實數根，根據判別式的意義得到（-2

6

p）²-4×5×5q=0，則6p²-25q=0，即p²=

25

6

q，且q＞0，再計算方程x²+px+q=0的△=p²-4q=

25

6

q-4q=

1

6

q，由q＞0得到△＞0，可判斷方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；
（2）由6p²-25q=0得q=

6p2

25

，代入方程x²+px+q=0整理得到25x²+25px+6p²=0，即（5x+3p）（5x+2p）=0，由于|x₁|＜|x₂|，則x₁=-

2p

5

，x₂=-

3p

5

，即可得到兩根的比值．

解答：證明：（1）∵一元二次方程5x2-2

6

px+5q=0(p≠0)有兩個相等的實數根，
∴（-2

6

p）²-4×5×5q=0，
整理得6p²-25q=0，即p²=

25

6

q，且q＞0，
∴對于方程x²+px+q=0，△=p²-4q=

25

6

q-4q=

1

6

q，
∵q＞0，
∴△＞0，
∴方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；

（2）∵6p²-25q=0，
∴q=

6p2

25

，
∴x²+px+

6p2

25

=0，即25x²+25px+6p²=0，
∴（5x+3p）（5x+2p）=0，
∵|x₁|＜|x₂|，
∴x₁=-

2p

5

，x₂=-

3p

5

，
∴

x1

x2

=

2

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．