Question

如圖，已知點A從（1，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動，以O、A為頂點在x軸的上方作菱形OABC，且∠AOC=60°；同時點G從點D（8，0）出發，以2個單位長度/秒的速度沿x軸向負方向運動，以D、G為頂點在x軸的上方作正方形DEFG．設點A運動了t秒．求：
（1）點B的坐標（用含t的代數式表示）
（2）當點A在運動的過程中，當t為何值時，點O、B、E在同一直線上；
（3）當點A在運動的過程中，是否存在t，使得以點C、G、D為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥x軸于H點，根據OA=AB=t，表示出BH和AH的長即可求得B點的坐標；
（2）求得線段OB所在直線的解析式后將用t表示的E點的坐標代入就可以求得三點共線的時間t；
（3）用t表示出C、G點的坐標分①若CG=CD，則CG²=CD²、②若GC=GD，則GC²=GD²、③若DC=DG，則DC²=DG²三種情況求得存在的時間t．

解答：解：（1）作BH⊥x軸于H點，
∵OA=AB=1+t，∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=

1+t

2

，BH=

3

2

（t+1），
∴OH=t+1+

t+1

2

=

3t+3

2

，
∴B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））（2分）

（2）將點B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））代入直線OB的解析式y=kx，
解得直線的解析式為y=

3

3

x，
∵點E的坐標為（8，2t），且O、B、E三點共線，
∴∠BOD=30°
∴2t=

3

3

×8
解得：t=

4

3

3

（3分）

（3）過C作CM⊥x軸，交x軸于M，連接CG，
∵C（

1+t

2

，

3 + 3t

2

），G（8-2t，0），D（8，0），
∴MG=OG-OM=8-2t-

1+t

2

，CM=

3 + 3 t

2

，
在直角三角形CMG中，CG²=MG²+CM²，
∴CG2=(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2，
CD2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2，GD²=4t²
假設存在滿足條件的t，則
①若CG=CD，則CG²=CD²，
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2t₁=0（舍去）t₂=5
②若GC=GD，則GC²=GD²
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=6+

17

，t2=6-

17

，
③若DC=DG，則DC²=DG²
∴(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=-1+2

5

，t2=-1-2

5

(舍去)（11分）（每種情況2分）
∴存在滿足條件的t值為：5，6+

17

，6-

17

，-1+2

5

（12分）

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、等腰三角形、勾股定理等知識，是一道綜合性較強的題目，特別是題目中涉及到的動點問題，更是中考的一個高頻考點．