Question

已知：如圖，A是半徑為2的⊙O上的一點，P是OA延長線上的一動點，過P作⊙O的切線，切點為B，設PA=m，PB=n．
（1）當n=4時，求m的值；
（2）⊙O上是否存在點C，使△PBC為等邊三角形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由；
（3）當m為何值時，⊙O上存在唯一點M和PB構成以PB為底的等腰三角形？并直接答出：此時⊙O上能與PB構成等腰三角形的點共有幾個？

Answer 1

（1）解法一：連接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO²=PB²+OB²，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）²=n²+2²m²+4m=n²；
n=4時，
解得：m1=-2

5

-2（舍去），m2=2

5

-2．
∴m的值為2

5

-2．
解法二：延長PO交⊙O于Q，PAQ為⊙O割線．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB²=PA•PQ，
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n²=m²+4m，
當n=4時，解得m1=-2

5

-2（舍去），m2=2

5

-2，
∴m的值為2

5

-2．

（2）存在點C，使△PBC為等邊三角形；
當∠OPB=30°時，過點P作⊙O的另一條切線PC，C為切點，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC為等邊三角形；
連接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如圖，設EF為線段PB的垂直平分線，垂足為D，當EF與⊙O相切于點M時，M符合要求；
連接OB、OM，
∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四邊形OMDB為正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．
由（1）得n=4時，m=2

5

-2，
∴當m=2

5

-2時，⊙O上存在唯一點M和PB構成以PB為底的等腰三角形，
此時⊙O上共有3個點能與PB構成等腰三角形．
（這3點分別是M，M₁，M₂．其中M是PB中垂線與⊙O的切點，M₁是延長BO與⊙O的交點，M₂是點B關于OP的對稱點）