Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圓心O₁從點(diǎn)A開始沿折線A-D-C以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，⊙O₂的圓心O₂從點(diǎn)B開始沿BA邊以cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁，O₂分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）設(shè)經(jīng)過t秒，⊙O₂與腰CD相切于點(diǎn)F，過點(diǎn)F畫EF⊥DC，交AB于E，則EF=______；
（2）過E畫EG∥BC，交DC于G，畫GH⊥BC，垂足為H．則∠FEG=______；
（3）求此時(shí)t的值；
（4）在0＜t≤3范圍內(nèi)，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)⊙O₂與腰CD相切時(shí)，EF的長為⊙O₂的半徑，
∴EF=4cm；

（2）∵∠CGH+∠EGF=90°，∠EGF+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠CGH，
在Rt△CGH中，∠C=60°，
∴∠CGH=30°，
∴∠FEG=30°；

（3）設(shè)點(diǎn)O₂運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，⊙O₂與腰CD相切．依題意畫圖，如圖所示，
在直角△CGH中，∠C=60°，∠CGH=30°，GH=，
∴CH=t，BH=GE=9-t；
在Rt△EFG中，∠FEG=30°，EF=4，GE=9-t；
在Rt△EFG中，EF=GE×cos∠FEG，即：4=（9-t）×；
∴t=（9-）秒；

（4）由于0＜t≤3，所以，點(diǎn)O₁在邊AD上，
如圖所示，連接O₁O₂，由兩圓外切可知O₁O₂=6cm；
AB=（BC-AD）×tan60°=6×=6，
∴O₂A=6-t，
在Rt△O₁O₂A中，由勾股定理得：t²+（6-t）²=6²，即t²-9t+18=0，
解得t₁=3，t₂=6（不合題意，舍去）
∴經(jīng)過3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．
故答案為：4cm；30°．
分析：（1）當(dāng)⊙O₂與腰CD相切時(shí)，EF的長為⊙O₂的半徑，故EF的長為4cm；
（2）通過畫圖可知：△CGH為直角三角形，由∠CGH+∠EGF=90°，∠EGF+∠FEG=90°，可得：∠FEG=∠CGH，在Rt△CGH中，已知∠C，從而可求出∠FEG；
（3）在Rt△EFG中，可將EG的長度的長度表示出來，已知∠FEG的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)值可將t求出；
（4）作輔助線，連接兩圓心，將O₁A、O₂A的長表示出來，在Rt△O₁O₂A中，根據(jù)勾股定理可將時(shí)間t求出．
點(diǎn)評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．