Question

【題目】已知正方形 的對角線 ， 相交于點 ．

（1）如圖1， ， 分別是 ， 上的點， 與 的延長線相交于點 ．若 ，求證： ；
（2）如圖2， 是 上的點，過點 作 ，交線段 于點 ，連結 交 于點 ，交 于點 ．若 ，
①求證： ；
②當 時，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形.

∴AC⊥BD,OD=OC.

∴∠DOG=∠COE=90°.

∴∠OEC+∠OCE=90°.

∵DF⊥CE.

∴∠OEC+∠ODG=90°.

∴∠ODG=∠OCE.

∴△DOG≌△COE（ASA）.

∴OE=OG.

（2）

①證明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°.

又OE=OG.

∴△DOG≌△COE（SAS）.

∴∠ODG=∠OCE.

②解：設CH=x，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=1

∴BH=1-x

∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°

∵EH⊥BC

∴∠BEH=∠EBH=45°

∴EH=BH=1-x

∵∠ODG=∠OCE

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE

∴∠HDC=∠ECH

∵EH⊥BC

∴∠EHC=∠HCD=90°

∴△CHE∽△DCH

∴ =.

∴HC2=EH·CD

得x2+x-1=0

解得x1=,x2= （舍去）.

∴HC=.

【解析】（1）根據正方形的性質，可根據三角形全等的判定ASA和性質即可.
（2）①同（1）中，利用上面的結論，根據SAS可證的結論.
②設CH=x，然后根據正方形的性質和相似三角形的判定于性質可得=,然后列方程求解即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解公式法的相關知識，掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數隨其后，使其成為最簡比．確定參數abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．