Question

如圖，一次函數y=2x﹣2的圖象與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，與反比例函數的圖象在第一象限內的交點為M（3，m）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥PM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y=   （2）存在．理由見解析

試題分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x﹣2求出m，確定M點的坐標，然后利用待定系數法確定反比例函數解析式；
（2）先確定A點坐標為（0，﹣2），B點坐標為（1，0），再根據勾股定理計算出AB=；根據M點坐標得到MC=4，BC=2，則利用勾股定理可計算出BM=2，然后證明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比計算出BP，于是可確定P點坐標．
解：（1）把M（3，m）代入y=2x﹣2得m=2×3﹣2=4，
∴M點坐標為（3，4），
把M（3，4）代入y=得k=3×4=12，
∴反比例函數的解析式為y=；
（2）存在．
作MC⊥x軸于C，如圖，
把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2；把y=0代入y=2x﹣2得2x﹣2=0，解得x=1，
∴A點坐標為（0，﹣2），B點坐標為（1，0），
∴OA=2，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==，
∵M點坐標為（3，4），
∴MC=4，BC=3﹣1=2，
在Rt△MBC中，MB==2，
∵MA⊥MB，
∴∠BMP=90°，
而∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴BP=10，
∴OP=11，
∴點P的坐標為（11，0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和待定系數法確定函數解析式；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．