Question

如圖（1）至圖（3），C為定線段AB外一動點，以AC、BC為邊分別向外側作正方形CADF和正方形CBEG，分別作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分別為D₁、E₁．當C的位置在直線AB的同側變化過程中，
（1）如圖（1），當∠ACB=90°，AC=4，BC=3時，求DD₁+EE₁的值；
（2）求證：不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；
（3）求證：不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，線段DE的中點M為定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形與垂線的性質，易證得：△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得DD₁與EE₁的長，則可求得DD₁+EE₁的值；
（2）定線段AB長為定值；猜想DD₁+EE₁=AB；過點C作CH⊥AB，垂足為H；再通過兩對全等三角形來證明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位線長等于兩底和的一半”，設M為DE的中點，Q為D₁E₁的中點，MQ=AB且MQ⊥AB，特殊地，當四邊形DD₁E₁E為矩形時，以上結論仍然成立．又因為可證明D₁A=E₁B，所以D₁E₁的中點就是AB的中點．所以，不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，線段DE的中點M為定點，此定點M恒在“點C的同側，與AB的中點Q距離為長的點上”．
解答：解：（1）∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠ACB=90°，
∵四邊形ACFD與BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ABC，∠EBE₁=∠BAC，
∴△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，
∴，，
∴，；
∴DD₁+EE₁=5；

（2）過點C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB，
∴不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；

（3）設M為DE的中點，Q為D₁E₁的中點，
則：且MQ⊥AB，
當四邊形DD₁E₁E為矩形時，以上結論仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴D₁E₁的中點就是AB的中點．
∴不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，線段DE的中點M為定點，
∴此定點M恒在“點C的同側，與AB的中點Q距離為長的點上”．
點評：此題考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質，正方形的性質，以及梯形中位線的性質等知識．此題綜合性很強，注意數形結合思想的應用．