Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接DE、OD，

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）連接OC交DE于F，若OF＝FC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）等腰直角三角形，理由見解析；（3）3.

【解析】

（1）求出∠CDB＝90°，推出DE＝BE，得到∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，推出∠ODE＝90°即可；

（2）連接OE，證正方形DEBO，推出OB＝BE，推出∠EOB＝45°，根據平行線的性質推出∠A＝45°即可；

（3）設AD＝x，CD＝2x，證△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出AB即可．

解：如右圖所示，連接BD，

（1）∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵O是AB的中點，

∴OA＝OB＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD，

同理在Rt△BDC中，E是BC的中點，

∴∠EDB＝∠EBD，

∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，

∴∠OAD＝∠CBD，

∴∠ODA＝∠EBD，

又∵∠ODA+∠ODB＝90°，

∴∠EBD+∠ODB＝90°，

即∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切線．

（2）答：△ABC的形狀是等腰直角三角形．

理由是：∵E、F分別是BC、OC的中點，

∴EF是三角形OBC的中位線，

∴EF∥AB，

DE⊥BC，

OB＝OD，四邊形OBED是正方形，

連接OE，

OE是△ABC的中位線，OE∥AC，

∠A＝∠EOB＝45度，

∴∠A＝∠ACB＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴△ACB是等腰直角三角形．

（3）設AD＝x，CD＝2x，

∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，

∴△CDB∽△CBA，

∴，

∴，

x＝2，

AC＝6，

由勾股定理得：AB＝＝6，

∴圓的半徑是3．

答：⊙O的半徑是3．