Question

探索、研究：下圖是按照一定的規律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號，a_n表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據“圖”、“表”可以歸納出a_n關于n的關系式為______．
若直線l₁經過點（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對應的函數關系式，并說明對任意的正整數n，點（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點A，與直線l₁相交于點M，雙曲線y=（x＞0）經過點M，且與直線l₂相交于另一點N．
①求點N的坐標，并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設H為雙曲線在點M、N之間的部分（不包括點M、N），P為H上一個動點，點P的橫坐標為t，直線MP與x軸相交于點Q，當t為何值時，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
③在y軸上是否存在點G，使得△GMN的周長最小？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由a_n=2ⁿ-1可得a₁=1，a₂=3，a₃=7，
又直線l₁經過點（a₁，a₂）、（a₂，a₃），設直線l₁的解析式為y=kx+b，
把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1
所以直線l₁為y=2x+1，
把點（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入y=2x+1，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以對任意的正整數n，點（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．

（2）①y=-x+4與x軸相交于點A，所以y=0，x=4，即點A的坐標為（4，0），
因為點M是L₂與L₁的交點，聯立，解得x=1，y=3，
所以點M的坐標為（1，3）；
又因為雙曲線y=（x＞0）經過點M，所以k=3
所以雙曲線為y=（x＞0），
因為點N是雙曲線與直線是L₂的交點，聯立，解得x=3，y=1
由此得點N的坐標為（3，1）．
②由題意，點P的坐標為
當S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA時，P為MQ的中點，
可得t=2時，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍，過M作ME⊥x軸于E，
則S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=4.5-，得3t²-7t+9=0，
用配方法或根的判別式法可以確定此方程沒有實數根．
∴不存在這樣的t值，使△PMA的面積為1．
③由題意，點M關于y軸的對稱點M’的坐標為（-1，3），
設在y軸上存在點G，使得△GMN的周長最小，
∵MN為定值，
∴要使△GMN的周長最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識可知，G為M’N與y軸的交點，
設過M’N的直線所對應的函數關系式為y=ax+b，則，
得，
∴由此可求得G的坐標為．
分析：（1）先求直線l₁為y=2x+1，把點（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以對任意的正整數n，點（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）①由題意，點A的坐標為（4，0），點M的坐標為（1，3）；求得雙曲線為y=（x＞0），由此得點N的坐標為（3，1）．
②由題意，點P的坐標為當S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA時，P為MQ的中點，可得t=2時，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍，過M作ME⊥x軸于E，則S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=6-，得3t²-7t+9=0．通過此方程的解的問題可知此方程沒有實數根，即不存在這樣的t值，使△PMA的面積為1．
③設在y軸上存在點G，使得△GMN的周長最小，MN為定值，要使△GMN的周長最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識可知，G為M’N與y軸的交點，設過M’N的直線所對應的函數關系式為y=ax+b，得，由此可求得G的坐標為．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．