Question

二次函數y=

1

4

x2-

5

2

x+6的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）如果P（x，y）是線段BC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得PO=PA？若存在，求出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0可求得C點坐標，令y=0可求得A、B的坐標；
（2）已知了B、C的坐標，用待定系數法求解即可，根據直線BC的解析式可用x表示出P點的縱坐標，以OA為底，P點縱坐標的絕對值為高即可得到△OAP的面積，由此可求得S、x的函數關系式；
（3）易知△OBC是等腰Rt△，且直角邊長為6，根據垂直平分線的性質得出P點位置，進而求出即可．

解答：解：（1）由題意，在y=

1

4

x²-

5

2

x+6中，令y=0
0=

1

4

x²-

5

2

x+6，
解得：x=4或6，
當x=0，y=6，
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；

（2）設一次函數的解析式為：y=kx+b；
將B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：

6k+b=0 b=6

，
解得

k=-1 b=6

；
∴y=-x+6；
根據題意得S_△POA=

1

2

×4×y，
∴y=-x+6；
∴S_△POA=-2x+12；
∴0≤x＜6；

（3）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
作AO的中垂線交CB于P，
根據垂直平分線的性質得出PO=PA，
而OA=4，∴P點橫坐標為2，代入直線BC解析式即可，
∴y=-x+6=-2+6=4，
∴P點坐標為：（2，4），
∴存在這樣的點P（2，4），使得OP=AP．

點評：此題考查了二次函數與坐標軸交點坐標的求法、一次函數解析式的確定、圖形面積的計算方法等重要知識點，綜合性較強，難度適中．