Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．

（1）如圖1．過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；
（2）如圖2，D為 上一點，且OD經過AC的中點E，連接DC并延長，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=10°，求∠P的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC，

∵⊙O與PC相切于點C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（2）解：∵E為AC的中點，

∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，

得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，

∴∠ACD= ∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一個外角，

∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°

【解析】本題考查了切線的性質，解題的關鍵是能夠利用圓的切線垂直于經過切點的半徑得到直角三角形，難度不大．（1）連接OC，首先根據切線的性質得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答
案；（2）根據E為AC的中點得到OD⊥AC，從而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圓周角定理求得∠ACD= ∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性質求解即可．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．