Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4,﹣）,且與y軸交于點C（0,2）,與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左邊）．
（1）求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請說明理由；

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x²﹣x+2 ,A（2,0）,B（6,0）；
（2）存在一點P,使AP+CP的值最小,AP+CP的最小值為.

解析試題分析：（1）根據知拋物線的頂點坐標,設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）²﹣,再根據拋物線經過（0,2）求出拋物線解析式,進而求出A,B兩點的坐標；
（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值.
試題解析：（1）由題意,設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）²﹣（a≠0）
∵拋物線經過（0,2）
∴a（0﹣4）²﹣ =2
解得：a= 
∴y=（x﹣4）²﹣
即拋物線的解析式為：y=x²﹣x+2
當y=0時,x²﹣x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2,0）,B（6,0）； 
（2）存在,
由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4,
因為A、B兩點關于l對稱,連接CB交l于點P,則AP=BP,
所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6,0）,C（0,2）
∴OB=6,OC=2
∴BC=,
∴AP+CP=BC=
∴AP+CP的最小值為.
考點：二次函數相關．