Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（1）用直尺和圓規在邊BC上求作一點P，使P到C的距離與P到AB的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連結AP，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，點P即為所求
（2）】解：在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2=62+82=100，

∴AB=6．

∵PC⊥AC，PD⊥AB，

∴PC=PD，

在Rt△ACP與Rt△ADP中，

∵ ，

∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），

∴AD=AC=6，BD=AB﹣AD=4．

設CP=PD=x，則PB=BC﹣PC=8﹣x；

在Rt△BDP中，∵PB2=PD2+BD2，

∴（8﹣x）2=x2+42，x=3，

∴PC=3，

在Rt△ACP中，

∵AP2=AC2+PC2=62+32=45，

∴AP=3 ．

【解析】（1）作∠A的平分線交BC于點P即可；（2）先根據勾股定理求出AB的長，根據HL定理得出Rt△ACP≌Rt△ADP，故可得出AD，BD的長，設CP=PD=x，則PB=BC﹣PC=8﹣x，在Rt△BDP中中根據勾股定理求出x的值，同理，在Rt△ACP中根據勾股定理求出PC的值即可．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．