Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值；
（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形？若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）分別過D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL）．
∴AG=BH=

AB-GH

2

=

7-1

2

=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∴S_梯形ABCD=

(1+7)×4

2

=16．

（2）∵M(jìn)N∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF．
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵M(jìn)E=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF．
設(shè)AE=x，則EF=7-2x．
∵∠A=∠A（公共角），∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA．
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x．
∴S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
當(dāng)x=

7

4

時(shí)，ME=

7

3

＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為

49

6

．

（3）能．
由（2）可知，設(shè)AE=x，則EF=7-2x，ME=

4

3

x．
若四邊形MEFN為正方形，則ME=EF．
即

4x

3

=7-2x．
解得x=

21

10

．
∴EF=7-2x=7-2×

21

10

=

14

5

＜4．
∴四邊形MEFN能為正方形，其面積為S_{正方形MEFN}=（

14

5

）²=

196

25

．