Question

（1）觀察一列數：-2，-4，-8，-16，-32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是

2

；根據這個規律，如果a₁表示第1項，a₂表示第2項，a_n（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a₁₈=

-2¹⁸

；a_n=

-2ⁿ

（2）如果想求l+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=l+3+3²+3³+…+3²⁰¹…①
將①式兩邊同乘以3，得

3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²

…②
由②減去①式，可以求得S=

1

2

(3202-1)

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若數列a₁，a₂，a₃，…a_n從第二項開始每一項與前一項之比的常數為q，則a_n=

-a₁q^n-1

（用含a₁，q，n的數學式子表示），如果這個常數為2008，求a_l+a₂+…+a_n的值．（用含a_l，n的數學式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得在這個數列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2；有第一個數為2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根據題中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分兩種情況討論．

解答：解：（1）每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是2，
∴a₁₈=-2¹⁸，a_n=-2ⁿ；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²
3S-S=3²⁰²-1
S=

1

2

(3202-1)；

（3）∵第二項開始每一項與前一項之比的常數為q，
∴a_n=-a₁q^n-1，
繼而得出：-

a1(qn-1)

q-1

．
故答案為：2、-2¹⁸、-2ⁿ；3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²、

1

2

(3202-1)；-a₁q^n-1、-

a1(qn-1)

q-1

．

點評：本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．本題的規律為：這個數列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2．要注意：第（3）題要注意分情況討論．