Question

【題目】如圖1，在長方形中，，，點在線段上以的速度由向終點運動，同時，點在線段上由點向終點運動，它們運動的時間為.

（解決問題）

若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，回答下面的問題：

(1)；

(2)此時與是否全等，請說明理由；

(3)求證：；

（變式探究）

若點的運動速度為，是否存在實數，使得與全等？若存在，請直接寫出相應的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】解決問題（1）1；（2）全等；（3）見解析；變式探究：1或.

【解析】

解決問題

（1）當t=1時，AP的長=速度×時間；

（2）算出三角形的邊，根據全等三角形的判定方法判定；

（3）利用同角的余角相等證明∠DPQ=90°；

變式探究

若與全等，則有兩種情況：①≌②≌，分別假設兩種情況成立，利用對應邊相等求出t值.

解：解決問題

（1）∵t=1，點P的運動速度為，

∴AP=1×1=1cm；

（2）全等，理由是：

當t=1時，可知AP=1，BQ=1，

又∵AB=4，BC=3，

∴PB=3，

在△ADP與△BPQ中，

，

∴△ADP≌△BPQ（SAS）

（3）∵△ADP≌△BPQ，

∴∠APD=∠PQB，

∵∠PQB+∠QPB=90°，

∴∠APD+∠QPB=90°，

∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.

變式探究

①若≌，

則AP=BQ，

即1×t=x×t，

x=1；

②若≌，

AP=BP，即點P為AB中點，

此時AP=2，t=2÷1=2s，

AD=BQ=3，

∴x=3÷2=cm/s.

綜上：當與全等時，x的取值為1或.