Question

九年級甲班數(shù)學(xué)興趣小組組織社會實踐活動，目的是測量一山坡的護坡石壩高度及石壩與地面的傾角∠α．
（1）如圖1，小明所在的小組用一根木條EF斜靠在護坡石壩上，使得BF與BE的長度相等，如果測量得到∠EFB=36°，求∠α的度數(shù)
（2）如圖2，小亮所在的小組把一根長為5米的竹竿AG斜靠在石壩旁，量出竹竿GM長1米時離地面的高度MN為0.6米，求護坡石壩的垂直高度AH長
（3）全班總結(jié)了各組的方法后，設(shè)計了如圖3方案：在護坡石壩頂部的影子處有一棵大樹PD，測得大樹的影子長CP為9米，點P到護坡石壩底部B的距離為3米，如果利用（1）、（2）中得到的結(jié)論，求出大樹PD的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3.0 ）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BFE=∠BEF=36°，再利用三角形外角性質(zhì)得∠α=∠BFE+∠BEF，即可得到∠α=72°；
（2）由NM⊥GB，AH⊥GB易證得Rt△GMN∽Rt△GAH，則MN：AH=GM：GA，把GA=5m，GM=1m，MN=0.6m代入即可得到AH=3m；
（3）在Rt△ABH中，∠α=72°，AH=3，根據(jù)正切的定義得tanα=

AH

BH

，即tan72°=

3

BH

，可求出BH，則得到PH=4，又DC∥AP，易證得Rt△DCP∽Rt△APH，
得到DP：AH=PC：PH，即DP：3=9：4，即可計算出DP．

解答：解：（1）∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=36°，
而∠α=∠BFE+∠BEF，
∴∠α=72°；

（2）∵NM⊥GB，AH⊥GB，
∴∠GNM=∠GHA=90°，
而∠G公共，
∴Rt△GMN∽Rt△GAH，
∴MN：AH=GM：GA，
而GA=5m，GM=1m，MN=0.6m，
∴0.6：AH=1：5，
∴AH=3m；

（3）在Rt△ABH中，∠α=72°，AH=3，
∴tanα=

AH

BH

，即tan72°=

3

BH

，
∴BH=

3

3.0

=1，
∴PH=PB+BH=3+1=4，
∵DC∥AP，
∴∠DCP=∠APH，
∴Rt△DCP∽Rt△APH，
∴DP：AH=PC：PH，即DP：3=9：4，
∴PD=

27

4

=6.75，
∴大樹PD的高度為6.75m．

點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用：把實物圖轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)有兩組內(nèi)角分別對應(yīng)相等的三角形相似得到相似三角形，再利用其性質(zhì)得到對應(yīng)相等的相似比，從而求出未知線段．也考查了銳角三角形函數(shù)的定義．