Question

香蕉味香、富于營養，常食香蕉不僅有益于大腦，預防神經疲勞，還有潤肺止咳、防止便秘的作用．今年三月份從3月1日起，“欣欣”香蕉批發店日銷售量y₁（箱）與時間第x（天）的函數關系如下表：

第x（天）	1	2	3	4	…
日銷售量y1（箱）	22	24	26	28	…

三月份香蕉的銷售價格p₁（元/千克）與時間第x（天）的函數關系為：p₁=-0.1x+7 （1≤x≤31，且x取整數）；由于氣候變化，四月份該店日銷售量y₁（箱）與時間第x（天）的函數關系如圖所示，銷售的價格p₂（元/千克）與時間第x（天）的函數關系為：p₂=0.1x+0.9（32≤x≤61，且x取整數）．已知該店銷售的每箱香蕉重25千克，每千克香蕉的成本為2元．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出三月份日銷售量y₁（元）與時間第x（天）之間的函數關系式；觀察右圖，直接寫出四月份日銷售量y₂（元）與時間第x（天）之間的一次函數關系式；
（2）請問第幾天香蕉日銷售利潤W最大，最大日銷售利潤是多少元？
（3）進入五月，由于南海局勢持續緊張，中國加強了對菲律賓香蕉進口的審查，市場上來自菲律賓的香蕉銳減，受此影響，與4月10日發生“黃巖島事件”那天相比，5月10日該店的銷售量下降了4a%，每千克售價提高了a%，成本增加了50%，5月10日的銷售利潤為3200元．請參考以下數據，計算出a的值（結果精確到0.1）．
（參考數據：

42

≈6.48，

41

≈6.4，

40

≈6.32 ）

Answer 1

分析：（1）待定系數法將（1，22），（2，24）代入y₁=k₁x+b₁，即可求得三月份日銷售量y₁（元）與時間第x（天）之間的函數關系式；待定系數法將（41，80），（51，70）代入y₂=k₂x+b₂，即可求得四月份日銷售量y₂（元）與時間第x（天）之間的一次函數關系式；
（2）首先分當1≤x≤31時，當32≤x≤61時兩種情況表示出日銷售利潤，進而利用函數增減性求出最大利潤；
（3）首先利用當x=41時，根據5月10日的銷售利潤為3200元，得出關于a的方程，進而求出a的值即可．

解答：解：（1）y₁=2x+20（1≤x≤31），
y₂=-x+121（32≤x≤61），

（2）當1≤x≤31時，w=（p₁-2）•25y₁=25（-0.1x+5）（2x+20）=-5（x-20）²+4500．
故當x=20時，w最大=4500．
當32≤x≤61時，w=（p₂-2）•25y₂=25（0.1x-1.1）（-x+121）=-2.5（x-66）²+7562.5．
又∵當x≤61時，w隨x增大而增大，
∴當x=61時，w最大=7500．
又∵4500＜7500，
∴當x=61時，w最大=7500．
答：第61天香蕉日銷售利潤W最大，最大日銷售利潤是7500元．

（3）當x=41時，y₂=80，p₂=5，則
[5（1+a%）-2（1+50%）]•80（1-40%）×25=3200，
令a%=t，則100t²+15t-2=0，
解得t=

-15±5 41

200

≈

-15±5×6.40

200

，
又∵t＞0，
∴t≈0.085，
∴a≈8.5．
故a的值為8.5．

點評：此題主要考查了二次函數與一次函數的應用，涉及的知識點有待定系數法求函數解析式，以及根據已知得出利潤與銷量之間的函數關系式．