Question

【題目】已知拋物線y＝－x2＋2mx－m2＋的頂點(diǎn)為P．

（1）求證：不論m取何值，點(diǎn)P始終在同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上？

（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，線段AB長等于8？

（3）該拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△OPQ是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）±1．

【解析】

（1）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）把y=0代入函數(shù)解析式得到關(guān)于m的一元二次方程，再由m>0,即可求解；（3）分m>0,m<0,兩種情況討論即可.

本題解析：

（1）證明：∵y＝－x2＋2mx－m2＋，∴y＝－（x－m）2＋，∴P（m，）．

∵m×＝1，∴點(diǎn)P始終在圖象上

（2）把y＝0代入y＝－x2＋2mx－m2＋中

－x2＋2mx－m2＋＝0

（x－m）2＝

當(dāng)m＞0時(shí)，x＝m±，∴AB＝，∴m＝．

（3）①當(dāng)m＞0，∠OPQ＝90°時(shí)

如圖，可證△OPM≌△PQN．

∵P（m，），∴Q（m＋，－m）（注：拋物線開口向下，只有這一種情況）

∴－m＝－（m＋－m）2＋，解得m＝1．

②當(dāng)m＜0，∠OPQ＝90°時(shí)

∵P（m，），∴Q（m－，＋m） （注：拋物線開口向下，只有這一種情況）

∴＋m＝－（m－－m）2＋，解得m＝－1．

綜上所述：m的值為±1．