Question

【題目】拋物線經過點A（-1,0）、B（4,0），與y軸交于點C（0,4）.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P為直線BC上方拋物線的一點，分別連接PB、PC，若直線BC恰好平分四邊形COBP的面積，求P點坐標；

(3)在（2）的條件下，是否在該拋物線上存在一點Q,該拋物線對稱軸上存在一點N，使得以A、P、Q、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P坐標為（2,6）；（3）Q點坐標為（，-)或（，）.

【解析】（1）把A、B、C三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；

（2）設P點坐標為（x，-x2+3x+4），根據四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP以及四邊形COBP的面積=2S△COB求解即可；

(3)分AQ和AN分別為對角線時進行討論可得解.

（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c得，

,

解得：

故拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；

（2）設P點坐標為（x，-x2+3x+4），如圖，

∴四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8

∵直線BC平分四邊形COBP的面積

∴四邊形COBP的面積=2S△COB

即：-2x2+8x+8=

解得x=2

將x=2代入拋物線表達式得y=6

故點P坐標為（2,6）

(3)存在

①當AQ為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，

故Q（）

②當AN為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，

故Q（）

綜上所述，Q點坐標為（)或（）