Question

【題目】已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．

（1）如圖甲，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出兩種情況，不需要證明）：①　 　或②　 　；

（2）如圖乙，AB是非直徑的弦，若∠CAF=∠B，求證：EF是⊙O的切線．

（3）如圖乙，若EF是⊙O的切線，CA平分∠BAF，求證：OC⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

(1) 添加條件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根據切線的判定和圓周角定理推出即可．

(2) 作直徑AM,連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根據切線的判定推出即可．

(3)由同圓的半徑相等得到OA=OB，所以點O在AB的垂直平分線上，根據∠FAC=∠B，∠

BAC=∠FAC，等量代換得到∠BAC=∠B，所以點C在AB的垂直平分線上，得到OC垂直平分AB．

（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，

理由是：①∵OA⊥EF，OA是半徑，

∴EF是⊙O切線，

②∵AB是⊙0直徑，

∴∠C=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵∠FAC=∠B，

∴∠BAC+∠FAC=90°，

∴OA⊥EF，

∵OA是半徑，

∴EF是⊙O切線，

故答案為：OA⊥EF或∠FAC=∠B，

（2）作直徑AM，連接CM，

即∠B=∠M（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），

∵∠FAC=∠B，

∴∠FAC=∠M，

∵AM是⊙O的直徑，

∴∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠M=90°，

∴∠FAC+∠CAM=90°，

∴EF⊥AM，

∵OA是半徑，

∴EF是⊙O的切線．

（3）∵OA=OB，

∴點O在AB的垂直平分線上，

∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，

∴∠BAC=∠B，

∴點C在AB的垂直平分線上，

∴OC垂直平分AB，

∴OC⊥AB．