Question

已知如圖，在平面直角坐標系中，A（-4，0），B（8，0），C（0，8），E為△ABC中AC邊上一動點（不和A、C重合），以E為一頂點作矩形EFGH，使G、H點在x軸上，F點在BC上，EF交y軸于D點．并設EH長為x．
（1）求直線AC解析式．
（2）若矩形EFGH為正方形，求x值．
（3）設EF長為y，試求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（2）根據點A、B、C的坐標求出AB、OC的長，再根據△ABC和△EFC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式求解即可；
（3）求出△ABC和△EFC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式求解即可．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-4，0），C（0，8），
∴

-4k+b=0 b=8

，
解得

k=2 b=8

，
∴直線AC解析式為y=2x+8；

（2）∵A（-4，0），B（8，0），C（0，8），
∴AB=8-（-4）=8+4=12，OC=8，
∴CD=8-x，
∵矩形EFGH為正方形，
∴EF=EH=x，EF∥AB，
∴△ABC∽△EFC，
∴

CD

OC

=

EF

AB

，
即

8-x

8

=

x

12

，
解得x=4.8；

（3）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△EFC，
∴

CD

OC

=

EF

AB

，
即

8-x

8

=

y

12

，
∴y=-

3

2

x+12．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數解析式，矩形的性質，正方形的四條邊都相等的性質，坐標與圖形性質，熟記各性質并準確識圖確定出相似三角形是解題的關鍵．