Question

【題目】直線AB∥CD，點P在其所在平面上，且不在直線AB，CD，AC上，設∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ(α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°)．

（1）如圖1，當點P在兩條平行直線AB，CD之間、直線AC的右邊時試確定α，β，γ的數量關系；

（2）如圖2，當點P在直線AB的上面、直線AC的右邊時試確定α，β，γ的數量關系；

（3）α，β，γ的數量關系除了上面的兩種關系之外，還有其他的數量關系，請直接寫出這些．

Answer 1

【答案】（1）γ=α+β；（2）γ=β-α；（3）γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．

【解析】

（1）如圖1中，結論：γ=α+β．作PE∥AB，利用平行線的性質解決問題即可；

（2）如圖2中，結論：γ=β-α．作PE∥AB，利用平行線的性質解決問題即可；

（3）分四種情形分別畫出圖形，利用平行線的性質解決問題即可．

（1）如圖1中，結論：γ=α+β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD，

∴γ=α+β；

（2）如圖2中，結論：γ=β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠CPE-∠APE，

∴γ=β-α．

（3）如圖3中，有γ=α-β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠APE-∠CPE，

∴γ=α-β．

如圖4中，有γ=β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠NCP=∠CPE，∠PAM=∠APE，

∴∠APC=∠APE-∠CPE，

=(180°-α)-(180°-β)

=β-α，

∴γ=β-α．

如圖5中，有γ=360°-β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，

∴∠BAP+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD =360°，

∴γ+β+α==360°，

∴γ=360°-β-α．

如圖6中，有γ=α-β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠MAP=∠APE，∠PCN=∠CPE，

∴∠APC=-∠CPE-∠APE，

=(180°-β)-(180°-α)

∴γ=α-β．

綜上所述：γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．