Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交B于點D，則下列說法中正確的個數是（　　）

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1     B．2       C．3         D．4

Answer 1

D.

解析試題分析：①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確；
②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的中垂線上．故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S_△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S_△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正確．
綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．
故選D．
考點: 1.角平分線的性質；2.線段垂直平分線的性質；3.作圖—基本作圖．