Question

如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）²+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．

（1）求點B，C的坐標；
（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；
（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）²+c上，
∴0=﹣（﹣1﹣1）²+c，解得c=4。
∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）²+4。
令x=0，得y=3，∴C（0，3）；
令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。
（2）△CDB為直角三角形。理由如下：
由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）。
如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，

則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。
過點C作CN⊥DM于點N，
則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：；
在Rt△CND中，由勾股定理得：；
在Rt△BMD中，由勾股定理得：。
∵BC²+CD²=BD²，∴根據勾股定理的逆定理，得△CDB為直角三角形。
（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），∴，解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3。
∵直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，
∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t。
設直線BD的解析式為y=mx+m，
∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：。
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6。
連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（，3）。
在△COB向右平移的過程中：
①當0＜t≤時，如答圖2所示：

設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．
設QE與BD的交點為F，
則：，解得，∴F（3﹣t，2t）。
∴S=S_△QPE﹣S_△PBK﹣S_△FBE
=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•y_F
=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=。
②當＜t＜3時，如答圖3所示，

設PQ分別與BC、BD交于點K、點J，
∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。
直線BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t�！郕（t，6﹣2t）。
∴S=S_△PBJ﹣S_△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）²=t²﹣3t+。
綜上所述，S與t的函數關系式為：S=。

試題分析：（1）首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標。
（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形。
（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：
①當0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；
②當＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形。