Question

在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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4

．
（Ⅰ）當(dāng)中線CD等于a時，重疊部分的面積等于

 

；
（Ⅱ）有如下結(jié)論（不在“CD等于a”的限制條件下）：①AC邊的長可以等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于

3

2

a2；③折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等．其中，

 

結(jié)論正確（把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號都填上，若認(rèn)為都不正確填“無”）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于△ABC中AB邊的中線CD等于AB的一半，所以△ABC是直角三角形，易求△ABC的面積，根據(jù)重疊部分的面積等于折疊前△ABC的面積的

1

4

，即可得出重疊部分的面積；
（Ⅱ）①假設(shè)AC=a成立，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圖形折疊的性質(zhì)可求出四邊形AB₁DC為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形的面積公式求解；
②假設(shè)S_△ABC=

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2

a2成立，再由△ABC的面積公式可求出AC=

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a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求出∠B=60°，由平行四邊形的判定定理可求出四邊形AB₂CD為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形的面積公式求解；
③綜合①②可知，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等．

解答：解：（Ⅰ）如右圖，∵CD=AD=a，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=60°，
又∵CD=BD=a，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠DCA+∠BCD=90°．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2a，
∴BC=a，AC=

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

3

2

a²，
又∵重疊部分的面積等于折疊前△ABC的面積的

1

4

，
∴重疊部分的面積=

3

8

a²；

（Ⅱ）對于結(jié)論①，若AC=a成立，如圖（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=

1

2

（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，
∵∠CDB₁=∠CDB，
∴∠B₁DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B₁D，
∵B₁D=BD=a=AC，
∴四邊形AB₁DC為平行四邊形．
∴S_△CED=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，滿足條件，即AC的長可以等于a，故①正確；
對于結(jié)論②，若S_△ABC=

3

2

a2，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠CAB，
∴AC=

3

a，
∵AC=

3

a，∠B=60°，如圖（二），
∴∠CDB=60°=∠DCB₂，
∴AD∥B₂C，
又∵B₂C=BC=a=AD，
∴四邊形AB₂CD為平行四邊形，
∴S_△CFD=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，滿足條件，
即S_△ABC的值可以等于

3

2

a2，故②正確；
對于結(jié)論③，由平行四邊形AB₁DC或平行四邊形AB₂CD，顯然成立，故③正確．
故答案為

3

8

a2；①②③．

點評：本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．