Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊，在第一象限作等邊△OAB

（1）求點B的坐標；

（2）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；

（3）直線y=x與（2）中的拋物線在第一象限相交于點C，求點C的坐標；

（4）在（3）中，直線OC上方的拋物線上，是否存在一點D，使得△OCD的面積最大？如果存在，求出點D的坐標和面積的最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（2，2）；

（2）拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+2；

（3）點C的坐標為（3，）；

（4）△OCD的最大面積為，此時點D的坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用點A的坐標為（4，0），△OAB是等邊三角形，作高后利用勾股定理可以求出；

（2）題利用頂點式可以求出解析式；

（3）由直線y=x與拋物線相交，用x表示出點C的坐標，即可求出；

（4）假設存在這樣一個點，用x表示出點D的坐標，即可求出．

試題解析：（1）如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，∵△OAB是等邊三角形，

∴OE=2，BE=2，∴點B的坐標為（2，2）；

（2）根據拋物線的對稱性可知，點B（2，2）是拋物線的頂點，

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+2，

當x=0時，y=0，

∴0=a（0﹣2）2+2，∴a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+2，

即：y=﹣x2+2x；

（3）設點C的橫坐標為x，則縱坐標為x，

即點C的坐標為（x， x）代入拋物線的解析式得： x=﹣x2+2x，

解得：x=0或x=3，∵點C在第一象限，∴x=3，

∴點C的坐標為（3，）；

（4）存在．

設點D的坐標為（x，﹣ x2+2x），△OCD的面積為S，

如圖2，過點D作DF⊥x軸于點F，交OC于點G，

則點G的坐標為（x， x），

作CM⊥DF于點M，

則OF+CM=3，DG=﹣x2+2x﹣x=﹣x2+x，

∴S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=DGOF+DGCM=DG（OF+CM）=DG×3

=（﹣x2+x）×3，

∴S=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴△OCD的最大面積為，此時點D的坐標為（，）．