Question

【題目】如圖，△ABC和△DBE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接CE．

（1）如圖1，若∠BAC=∠BCA=∠BDE=∠BED=55°

①求證：AD=CE；

②求∠AEC的度數．

（2）如圖2，若∠ABC=∠DBE=120°，BM為△BDE中DE邊上的高，CN為△ACE中AE邊上的高，試證明：AE=．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②70°（2）

【解析】（1）關鍵全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD=CE.

（2）①首先根據△ACB和△CE均為等腰三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°即可；

解：（1）證明：∵∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC=55°，

∴∠ABD=∠CBE．

∵△ABC和△DBE均為以點B為腰上頂點的等腰三角形．

∴BA=BC，BD=BE　

∴△ABD≌△CBE．

∴AD=CE　

②：解：∵△ABD≌△CBE（已證）

∴∠BDA=∠BEC=180°-∠BDE

∵∠AEC=∠BEC-∠BED

∴∠AEC =180°-2∠BDE=70°

（2）同理可證：AD=CE，∠AEC=120° ，∴∠CEN=60°，

∵CN為△ACE中AE邊上的高，

∴∠ECN=30°，∵CN=a，

根據勾股定理:CE=，

∴AD=CE=，

∵△DBE為等腰三角形, BM為△BDE中DE邊上的高

∴DE=2DM，

∵∠DBE=120°，∴∠BDM=30°，

∴根據勾股定理:DM=，

∴DE=2DM=2 ，

∴AE=AD+DE=+2

“點睛”此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質，等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.