Question

【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(2)類比猜想：如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線時(shí)，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立？

(3)深入探究：Ⅰ.如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D與B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的探究的結(jié)論；Ⅱ.如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD；證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；證明見解析；Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立．新的結(jié)論是AF=AB+BF′；證明見解析.

【解析】解：（1）AF=BD。證明如下：

∵△ABC是等邊三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質(zhì)）。

同理知，DC=CF，∠DCF=60°。

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。

在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，

∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

（2）AF=BD仍然成立。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。證明如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF。

同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD。

∴AF+BF′=BD+AD=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′。證明如下：

在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，

∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。

（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊、三個(gè)內(nèi)角都相等的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AF=BD。

（2）通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對(duì)應(yīng)邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′：通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′