Question

我們容易發現：反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形．你可以利用這一結論解決問題．如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點O逆時針旋轉α度角后的圖形．若它與反比例函數y=

3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點B，D，已知點A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是

 

；
（2）①當點B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，α，和m的值；
②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有幾個？（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數與反比例函數圖象的交點，所以點B與點D關于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）①把點B（p，1）代入y=

3

x

，即可求出p的值；過B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據正切函數的定義求出tanα的值，得出α的度數；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長度，然后根據進行的對角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；②當m=2時，設B（x，

3

x

），則x＞0，由OB=2，得出x²+

3

x2

=4，解此方程，得x=±1或±

3

，滿足條件的x的值有兩個，故能使四邊形ABCD為矩形的點B共有兩個；
（3）假設四邊形ABCD為菱形，根據菱形的對角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．

解答：解：（1）平行四邊形（3分）

（2）①∵點B（p，1）在y=

3

x

的圖象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

．（4分）
過B作BE⊥x軸于E，則OE=

3

，BE=1
在Rt△BOE中，tanα=

BE

OE

=

1

3

=

3

3

α=30°，（5分）
∴OB=2．
又∵點B、D是正比例函數與反比例函數圖象的交點，
∴點B、D關于原點O成中心對稱，（6分）
∴OB=OD=2．
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2（7分）
∴m=2；（8分）
②能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個；（9分）

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）
若四邊形ABCD為菱形，則對角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因為點A、C的坐標分別為（-m，0）、（m，0），
所以點A、C關于原點O對稱，且AC在x軸上，（11分）
所以BD應在y軸上，
這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．（12分）

點評：本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形、菱形的性質及三角函數的定義等知識，綜合性較強，難度適中．