Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：

∵對稱軸為直線x=2，

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．

將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得 ，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：方法一：

當a=1時，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

設P（x，﹣x2+4x+5），

如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

= （PN+OF）ON﹣ PNMN﹣ OMOE

= （x+2）（﹣x2+4x+5）﹣ x（﹣x2+4x+4）﹣ ×1×1

=﹣x2+ x+

=﹣（x﹣ ）2+

∴當x= 時，四邊形MEFP的面積有最大值為 ，

把x= 時，y=﹣（ ﹣2）2+9= ．

此時點P坐標為（ ， ）

方法二：

連接MF，過點P作x軸垂線，交MF于點H，

顯然當S△PMF有最大值時，四邊形MEFP面積最大．

當a=1時，E（1，0），F（2，0），

∵M（0，1），

∴lMF：y=﹣ x+1，

設P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣ t+1），

∴S△PMF= （PY﹣HY）（FX﹣MX），

∴S△PMF= （﹣t2+4t+5+ t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+ t+4，

∴當t= 時，S△PMF最大值為 ，

∵S△MEF= EF×MY= ×1×1= ，

∴S四邊形MEFP的最大值為 + =

（3）

解：方法一：

∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐標為3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2± ．

∵點P在第一象限，∴P（2+ ，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．

如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；

作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；

連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．

設直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+ ，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m= ，n=﹣ ，

∴y= x﹣ ．

當y=0時，解得x= ．∴F（ ，0）．

∵a+1= ，∴a= ．

∴a= 時，四邊形PMEF周長最小．

方法二：

∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐標為3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2± ，

∵點P在第一象限，∴P（2+ ，3），PM、EF長度固定，

當ME+PF最小時，PMEF的周長取得最小值，

將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1），

∵四邊形MEFM1為平行四邊形，

∴ME=M1F，

作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1），

∴M2F=M1F=ME，

當且僅當P，F，M2三點共線時，此時ME+PF=PM2最小，

∵P（2+ ，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），

∴KPF=KM1F，

∴ ，

∴a=

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最值及點P坐標；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2 ， 則M2（1，﹣1）；連接PM2 ， 與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．