Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OE．

∵BE⊥EF，

∴∠BEF=90°，

∴BF是圓O的直徑．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）證明：如圖，連結DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE與△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，

∴HF=1，

在Rt△HFE中，EF= = ，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠EHF=∠BEF=90°，

∵∠EFH=∠BFE，

∴△EHF∽△BEF，

∴ = ，即 = ，

∴BF=10，

∴OE= BF=5，OH=5﹣1=4，

∴Rt△OHE中，cos∠EOA= ，

∴Rt△EOA中，cos∠EOA= = ，

∴ = ，

∴OA= ，

∴AF= ﹣5=

【解析】（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；（2）連結DE，先根據AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF．（3）先證得△EHF∽△BEF，根據相似三角形的性質求得BF=10，進而根據直角三角形斜邊中線的性質求得OE=5，進一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．本題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，三角形相似的判定和性質以及解直角三角形等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．