Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=3cm，AB=4cm，AD⊥BC于D，與BD等長的線段EF在邊BC上沿BC方向以1cm/s的速度向終點C運動（運動前EF與BD重合），過E，F分別作BC的垂線交直角邊于P，Q兩點，設EF運動的時間為x（s）．
（1）若△BEP的面積為ycm²，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）線段EF運動過程中，四邊形PEFQ有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時x的值；若不可能，說明理由；
（3）x為何值時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）證△BPE∽△ABC，得到比例式

PE

AC

=

BE

AB

，代入求出即可；
（2）根據矩形的性質得出PE=QF，把PE和QF的值代入求出即可；
（3）由（2）求出x，再∠APQ=∠C，證△AQP∽△ABC相似，得出比例式，求出即可；

解答：解：（1）∵PE⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠PEB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△BPE∽△ABC，
∴

PE

AC

=

BE

AB

即

PE

3

=

x

4

，
∴PE=

3

4

x，
∴y=S_△BEP=

1

2

BE•PE=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

 x2，
即y=

3

8

 x2．
在Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5，BD=

16

5

，DC=

9

5

，
∵0≤BE≤DC，
∴0≤x≤

9

5

．
答：y關于x的函數解析式是y=

3

8

x²，自變量x的取值范圍是0≤x≤

9

5

．

（2）有可能．
當四邊形PEFQ是矩形時，有PE=QF，
由已知得PE=

3

4

x，
與求PE類似可求出QF=

4

3

(

9

5

-x)，
∴

3

4

x=

4

3

(

9

5

-x)，
解得x=

144

125

，
∴當x=

144

125

時，四邊形PEFQ是矩形．

（3）分2種情形：
當∠APQ=∠B時，△APQ∽△ABC，
且四邊形PEFQ是矩形，此時x=

144

125

，
當∠APQ=∠C時，
由三角形面積公式得：

1

2

×AC×AB=

1

2

BC×AD，
AC=3，AB=4，BC=5，
∴AD=

12

5

，
在Rt△ADB中，AB=4，AD=

12

5

，由勾股定理得：BD=

16

5

，
∴EF=BD=

16

5

，
∴CF=5-x-

16

5

=

9

5

-x，
cos∠C=

3

5

=

CF

CQ

，
CQ=

5

3

CF=

5

3

（

9

5

-x）=3-

5

3

x，
∴AQ=3-（3-

5

3

x）=

5

3

x，
∵△AQP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

4- 5 4 x

3

=

5 3 x

4

，
解得  x=

8

5

，
∴當x=

144

125

或

8

5

時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題主要考查對矩形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．