Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2=OEOP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當BP=1時，tan∠OAE=，其中正確結論的個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP與△ABQ中， ，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正確；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴ ，

∴AO2=ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②錯誤；

在△CQF與△BPE中 ，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF與△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△AOP∽△DAP，

∴ ，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴ ，

∴QO=，OE=，

∴AO=5﹣QO=，

∴tan∠OAE==，故④正確，

故選C．