Question

（1）若關于x的不等式|x-1|+|x-2|＜a無解，求a的取值范圍．
（2）若關于x的不等式|x-1|+|x-2|≥a恒成立，求a的取值范圍．
（3）a取怎樣的值時，|x-1|-|x+2|＜2a+3對一切實數x恒成立．
（4）a取何值時，|x+1|-|x+2|＞3-a無解．
（5）若|x-a|＜|x|+|x+1|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據|x-1|+|x-2|的幾何意義可得其最小值等于1，可得當a≤1時，|x-1|+|x-2|＜a無實數解；
（2）根據|x-1|+|x-2|的幾何意義可得其最小值等于1，據此即可求解；
（3））|x-1|-|x+2|表示數軸上到1的距離與到-2的距離的差，最小值是3，若，|x-1|-|x+2|＜2a+3對一切實數x恒成立，則一定有2a+3＞3，即可求解；
（4））|x+1|-|x+2|表示數軸上到-1的距離與到-2的距離的差，最大值是1，|x+1|-|x+2|＞3-a無解，則有3-a＜1，據此即可求解；
（5）|x|+|x+1|表示數軸上到原點的距離與到-1的距離的和，最小值是1，則|x-a|＜1，去掉絕對值符號即可求解．

解答：解：（1）根據|x-1|+|x-2|的幾何意義可得其最小值等于1，可得當a≤1時，|x-3|+|x-2|＜a無實數解，
故當a≤1時，關于x的不等式|x-3|+|x-2|＜a無實數解；
（2）根據|x-1|+|x-2|的幾何意義可得其最小值等于1，則a≤1；
（3）|x-1|-|x+2|表示數軸上到1的距離與到-2的距離的差，最大值是3，
根據題意的：，3＜2a+3，解得：a＞0；
（4）|x+1|-|x+2|表示數軸上到-1的距離與到-2的距離的差，最大值是1，
則1＞3-a，
解得：a＜2；
（5）|x|+|x+1|表示數軸上到原點的距離與到-1的距離的和，最小值是1，則|x-a|＜1，
即-1＜x-a＜1，
解得：a-1＜x＜a+1．

點評：本題考查了絕對值不等式依據數軸的幾何意義，正確理解理解絕對值的幾何意義是關鍵．