Question

如圖，已知頂點為P的拋物線y=

1

2

x2+bx+c經過點A（-3，6），并x軸交于B（-1，0），C兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABPC的面S；
（3）試判斷四邊形ABPC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）把A、B兩點的坐標代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由拋物線解析式易得C（3，0），頂點P（1，-2），
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC•y_A+

1

2

BC•|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四邊形ABPC是直角梯形．理由如下：
如圖，過點A和點P分別作x軸的垂線段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四邊形ABPC是直角梯形．