Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點C（0，3），與x軸的兩個交點分別為A（-1，0）、B（3，0），頂點為D．連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得四邊形PEDF為平行四邊形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）設點P的橫坐標為m，△BCF的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出a、b、c的值，即可得到函數(shù)解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點D的坐標以及點E的坐標，從而得到DE的長度，設點P的橫坐標為x，根據(jù)直線BC的解析式與二次函數(shù)的解析式求出PF的長度，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等列式求解即可得到點P的橫坐標，然后點P的坐標可求；
（3）把△BCF的面積分成△PBF與△PCF的面積的和，底邊為PF，然后列式求解即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）存在．
理由如下：設直線BC的解析式是y=kx+b，
則

b=3 3k+b=0

，
解得

k=-1 b=3

，
∴直線BC的解析式是y=-x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線對稱軸是x=1，頂點D的坐標是（1，4），
當x=1時，y=-1+3=2，
∴點E的坐標是（1，2），
∴DE=4-2=2，
設點P的橫坐標是x，則點P的坐標是P（x，-x+3），點F的坐標是F（x，-x²+2x+3），
∴PF=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
若四邊形PEDF是平行四邊形，則PF=DE，
即-x²+3x=2，
解得x=2，x=1（舍去）
∴-x+3=-2+3=1，
∴點P的坐標是（2，1），
∴存在點P（2，1），使得四邊形PEDF為平行四邊形；

（3）根據(jù)（2）的結論，PF=-m²+3m，
設點B到PF的距離是h₁，點C到PF的距離是h₂，
則S_△BCF=S_△PBF+S_△PCF，
=

1

2

×PF×h₁+

1

2

×PF×h₂，
=

1

2

×PF×（h₁+h₂），
=

1

2

（-m²+3m）×3，
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
∴S關于m的函數(shù)關系式為S=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
當m=

3

2

時，S的最大值為

27

8

．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，分割法求三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強，難度較大，同學們求解時一定要仔細分析、認真計算．