Question

已知：如圖Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=4．
（1）求AC的長度．
（2）有一動點P從點C開始沿C→B→A方向以1cm∕s的速度運動，到達點A后停止運動，設運動時間為t秒．求：
①當t為幾秒時，AP平分∠CAB．
②當t為幾秒時，△ACP是等腰三角形（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）直接運用勾股定理就可以求出AC的值；
（2）①如圖1，當AP平分∠CAB時，作PE⊥AB于E，由勾股定理就可以求出t的值；
②分3種情況如圖2，當AC=PC時，可以求出t=4，如圖3，當AP=CP時，作PE⊥AC，于點E，由等腰三角形的性質就可以得出E是AC的中點，進而得出P是AB 的中點，就可以求出t=6.5，如圖4，當AC=AP時，就可以求出t=6．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=

AB2-BC2

=

52-4 2

=3．
答：AC=3；

（2）①作PE⊥AB于E，
∴∠AEP=∠BEP=90°
∵PC⊥AC，
∴∠C=90°，PC=PE．
∴∠C=∠AEP．
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAC=∠PAE．
在△ACP和△AEP中，

∠PAC=∠PAE ∠C=∠AEP AP=AP

，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AC=AE=3，
∴BE=2．
∵PC=t秒，
∴PE=t秒，PB=（4-t）秒．
在Rt△PEB中，由勾股定理，得
t²+2²=（4-t）²，
解得：t=1.5秒．
②如圖2，當AC=PC時，
∴PC=t=4秒；
如圖3，當AP=CP時，作PE⊥AC于E，
∴∠AEP=90°，AE=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠AEP=∠ACB，
∴EP∥AB，
∴AP=BP，
∴BP=2.5，
∴t=4+2.5=6.5秒；
如圖4，當AP=AC時，
∴AP=3，
∴PB=2，
∴t=4+2=6秒．
∴當t=4秒，6秒或6.5秒時△ACP為等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理的運用，角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時運用勾股定理求值是關鍵．