Question

閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧，天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中常見(jiàn)的描述，其意是指兩人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”如：(2+

3

)(2-

3

)=1，2+

3

與2-

3

的積不含有根號(hào)，我們就說(shuō)這兩個(gè)式子互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式．于是二次根式

2+ 3

2- 3

可以這樣解：

2+ 3

2- 3

=

(2+ 3 )(2+ 3 )

(2- 3 )(2- 3 )

=

7+4 3

1

=7+4

3

，像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：①4+

7

的有理化因式是

4-

7

②計(jì)算：

1

2+ 3

+

27

-6

1 3

③計(jì)算：

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…

1

1999 + 2000

．

Answer 1

分析：①根據(jù)有理化因式的定義即可的話答案；
②利用分母有理化以及二次根式的化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案即可；
③利用已知將原式化簡(jiǎn)為

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2000

-

1999

進(jìn)而求出即可．

解答：解：①∵（4-

7

）（4+

7

）=16-7=9，
∴4+

7

的有理化因式是4-

7

；
故答案為：4-

7

；

②

1

2+ 3

+

27

-6

1 3

，
=

2- 3

(2+ 3 )(2- 3 )

+3

3

-6×

3

3

=2-

3

+3

3

-2

3

=2；

③（

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…+

1

1999 + 2000

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2000

-

1999

=-1+

2000

=-1+20

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分母有理化的應(yīng)用，根據(jù)已知得出式子變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．