Question

【題目】如圖，把平面內一條數軸繞原點逆時針旋轉角得到另一條數軸軸和軸構成一個平面斜坐標系．過點作軸的平行線，交軸于點，過點作軸的平行線，交軸于點．若點在軸上對應的實數為，點在軸上對應的實數為，則成有序實數對為點的斜坐標．

（1）在某平面斜坐標系中，已知，點的斜坐標為，點與點關于軸對稱，求點的斜坐標．

（2）某平面斜坐標系中，已知點，求出點關于軸、軸的對稱點點、點的斜坐標．（用含及的式子表示）．

（3）直接寫出點關于原點對稱的點的斜坐標是_________．

Answer 1

【答案】(1) (5，-3)； (2)，； (3)

【解析】

(1)如圖，作點P關于x軸的對稱點N，連接PN交x軸于F，作NC∥x軸交y軸于C，作ND∥y軸交x軸于D．求出OC，OD即可解決問題；
(2)利用(1)中的方法解決問題即可；
(3)根據斜坐標的定義寫出坐標即可．

(1)如圖，作點P關于x軸的對稱點N，連接PN交x軸于F，作NC∥x軸交y軸于C，作ND∥y軸交x軸于D．

∵DN∥BC∥PA，
∴∠PAF=∠NDF，
∵PF=NF，∠AFP=∠NFD，
∴△AFP≌△DFN(AAS)，
∴AF=DF，PA=DN=OC=b，
∵在Rt△AFP中，∠PAF=∠BOA=θ=60°，
∴AF=DF=bcos60°=b，

∴OD=OA+ AF+DF =，
∴，
∵，
∴點N的斜坐標為(5，-3)；

(2)如圖，作點P關于x軸的對稱點Q，連接PQ交x軸于F，作QC∥x軸交y軸于C，作QD∥y軸交x軸于D．

∵DQ∥BC∥PA，
∴∠PAF=∠QDF，
∵PF=QF，∠AFP=∠QFD，
∴△AFP≌△DFQ(AAS)，
∴AF=DF，PA=DQ=OC=y，

∵在Rt△AFP中，∠PAF=∠BOA=θ，
∴AF=DF=，

∴DO=OA+AF+FD=

∴點Q的斜坐標為，

如圖，作點P關于y軸的對稱點R，連接PR交軸于E，作RH∥軸交y軸于H，作RG∥軸交軸于G．

同理可證得△EBP≌△EHR(AAS)，
∴BE=EH，PB=RH=OA=，

∵在Rt△EBP中，∠EBP=∠BOA=θ，
∴BE=EH =cos，

∴HO=OB+BE+EH=，

∴點R的坐標為；

(3)如圖，點P關于原點的對稱點，作∥軸交軸于M．

∵∥PB∥OA，

∴△≌△PBO，
∴，，

∴關于原點對稱的點的斜坐標是，
故答案為：．