Question

閱讀下列解題過程，請回答下列各問題：

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4 )

( 5 + 4 )( 5 - 4 )

=

5 - 4

( 5 )2-( 4 )2

=

5

-

4

=

5

-2

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )( 6 - 5 )

=

6 - 5

( 6 )2-( 5 )2

=

6

-

5

（1）觀察上面解題過程，請直接給出

1

n+1 + n

(n為正整數)的結果，并寫出化簡過程．
（2）利用上面提供的方法，請你化簡下面的式子：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

．

Answer 1

分析：（1）利用分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式，進而化簡得出即可；
（2）利用（1）中所求化簡得出即可．

解答：解：（1）∵

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4 )

( 5 + 4 )( 5 - 4 )

=

5 - 4

( 5 )2-( 4 )2

=

5

-

4

=

5

-2，

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )( 6 - 5 )

=

6 - 5

( 6 )2-( 5 )2

=

6

-

5

，
∴

1

n+1 + n

(n為正整數)=

n+1 - n

( n+1 + n )( n+1 - n )

=

n+1 - n

n+1-n

=

n+1

-

n

；

（2）

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2010

-

2009

，
=-1+

2010

．

點評：此題主要考查了分母有理化，正確化簡去掉二次根式中的分母是解題關鍵．