Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O．

(1)連接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，則△DBC的形狀為　 　．

(2)在(1)的條件下，試探究線段AD，AB，AC之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，點P為上的一動點，連接PA，PB，PD，求證：PD＝PB+PA．

Answer 1

【答案】(1)等邊三角形；(2)AC＝AB+AD，理由見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)利用等弧對等角，可以判斷出△DBC是等邊三角形；

(2)如圖1，在AC上截取AE＝AD，連接DE，利用等邊△DBC以及等邊對等角的關系，可以證得△DAB≌△DEC(SAS)，可以證明AC＝AB+AD；

（3）如圖2，根據已知條件易證得四邊形ABCD是正方形，在PD上取DE＝BP，也同樣可證得△DAE≌△BAP(SAS)，可證得PAE為等腰直角三角形，所以PE＝PA.

(1)∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，

∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，

∴△DBC是等邊三角形．

故答案為:等邊三角形．

(2)結論：AC＝AB+AD．

理由：如圖1，在AC上截取AE＝AD，連接DE．

∵∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，

∴∠ADB＝∠EDC，

∵DA＝DE，DB＝DC，

∴△DAB≌△DEC(SAS)，

∴EC＝AB，

∴DE＝AD

∴AC＝AE+EC＝AD+AB．

(3)如圖2中，在PD上取DE＝BP，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵，

∴AB＝BC，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，

∴△DAE≌△BAP(SAS)，

∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，

∴∠PAE＝∠BAD＝90°，

∴PE＝PA，

∴PD﹣PB＝PD＝DE＝PE＝PA．