Question

如圖9四邊形ABCD是菱形，且，是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結論中正確的是（   ）

①若菱形ABCD的邊長為1,則的最小值1;
②；
③；④連接AN，則；
⑤當的最小值為時，菱形ABCD的邊長為2.

A．①②③

B．②④⑤

C．①②⑤

D．②③⑤

Answer 1

C

解答：解：①連接AC，交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴點A，點C關于直線BD對稱，
∴M點與O點重合時AM+CM的值最小為AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小為1，故本答案正確．
②∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正確．
③∵S_△ABE+S_△ABM=S_{四邊形AMBE}
S_△ACD+S_△AMC=S_{四邊形ADCM}，且S_△AMB≠S_△AMC，
∴S_△ABE+S_△ABM≠S_△ACD+S_△AMC，
∴S_{四邊形AMBE}≠S_{四邊形ADCM}，故本答案錯誤．
④假設AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M點與O點重合，
∵條件沒有確定M點與O點重合，故本答案錯誤．
⑤如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，設菱形的邊長為x，
∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴(x)²+(x+x)²=(2)²，解得x=2，故本答案正確．
綜上所述，正確的答案是：①②⑤，
故選C．